스타이너의 증명

19세기 들어 스타이너 (Jacob Steiner; 1796-1863)는 천재적인 다양한 방식으로 등주 정리의 증명을 시도하였다. 그 중 가장 명쾌한 것은 다음과 같이 기하를 이용한 것이다. 스타이너의 증명은 4단계로 이루어져 있다.

*스타이너의 증명

증명)곡선 $$C$$가 볼록이 아니라고 하면 그림 1과 같이 곡선 $$C$$위의 적당한 두 점 $$O$$와 $$P$$에 대하여 선분$$OP $$가 곡선 $$C$$의 외부에 존재한다.  직선  $$OP $$에 대하여 호  $$ OQP $$ 와 대칭인 호를  $$ OQ'P $$라 하고 새로 만들어진 곡선을 $$C'$$ 이라 하면 두 곡선 $$C$$와 $$C'$$의 둘레 길이는 $$L$$로 갖지만 곡선 $$C'$$은 곡선 $$C$$보다 면적 $$I$$과 $$II$$만큼 더 갖게 되므로 1단계의 가정에 모순이 된다. 따라서 곡선 $$C$$는 볼록이다.

증명) 곡선 $$C_{1}$$과 선분 $$AB$$로 둘러싸인 부분의 넓이가 곡선  $$C_{2}$$과 선분 $$AB$$로 둘러싸인 부분의 넓이보다 크다면 그림2와 같이 곡선  $$C_{1}$$을  직선 $$AB$$에 대하여 대칭이동하여 만든 새로운 곡선은 원래의 곡선 $$C$$보다 더 넓게 되므로 이는 1단계 가정에 모순이다. 따라서 두 부분의 넓이는 같다.

증명) 곡선 $$C_{1}$$이 반원임을 보이면 충분하다. 곡선 $$C_{1}$$위에 있는 임의의 점 $$O$$에 대하여 각 $$AOB$$가 직각임을 보이자. 그림 3과 같이 각 $$AOB$$가 직각이 아니라고 하자. 그림 3에서 점 $$O$$를 중심으로 활꼴  $$OB$$를 면적과  선분 $$OB$$와 호 $$OB$$의 길이를 변화시키지 않으면서 그림 4와 같이 각 $$AOB$$를 직각이 되게 만들 수 있다. 이 경우 그림 4의 도형이 그림 3의 도형보다 더 넓게 되므로 이는 1 단계 가정에 모순이다. 따라서 곡선 $$C_{1}$$은 반원이다.

스타이너의 기하학적 증명은 명쾌하지만 중대한 오류를 지니고 있으며 그 오류는 당대의 수학자 Dirichlet가 밝혀 내었다. 위 증명 단계에서 어떤 부분이 오류라고 생각하는지 토론 페이지에 제시하시오.

스타이너의 기하학적 증명의 오류에 대한 토론