등주정리를 이용한 비르팅거 부등식의 증명

$$f(\theta)$$를 $$C^1(R)$$이며 주기가 $$2\pi$$이고 $$\int_{0}^{2\pi} {f(\theta) d\theta}=0$$를 만족하는 함수라고 하면 다음 부등식이 성립한다. $$\int_{0}^{2\pi} {\left\{f(\theta)\right\}^2 d\theta} \leq \int_{0}^{2\pi} {\left\{f'(\theta)\right\}^2 d\theta}$$ 단, 등호는 적당한 실수 a와 b에 대하여 $$f(\theta)=acos(\theta+b)$$일 때 성립한다.

pf) 등주 정리(isoperimetric inequality)는 다음과 같다. $$C : x=x(t), y=y(t), a \leq t \leq b$$이 $$C^1$$ 폐곡선일 때, 곡선 C로 둘러싸인 영역의 넓이를 A, 곡선 C의 길이를 L이라 하자. 이 때, $$A \leq \frac{L^2}{4\pi}$$이 성립한다. 등호는 곡선 C가 원일 때만 성립한다.  곡선 C의 길이는 $$\int_{a}^{b} {\sqrt{\left\{x'(t)\right\}^2+\left\{y'(t)\right\}^2}dt}$$, 그린 정리를 적용하면 곡선 C가 둘러싼 넓이 A를 $$A=\int_{a}^{b} {y(t)x'(t) dt}$$와 같이 나타낼 수 있다. 등주 정리를 다시 표현하면 $$\int_{a}^{b} {y(t)x'(t) dt} \leq \frac{\left\{\int_{a}^{b} {\sqrt{\left\{x'(t)\right\}^2+\left\{y'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi}$$이다.

Wirtinger's Inequality를 증명하기 위해 곡선 C를 다음과 같이 정의한다. $$C : x=\int_{0}^{t} {f(s) ds}, y=f(t), 0 \leq t \leq 2\pi$$ 함수 f는 주기가 $$2\pi$$이며 $$\int_{0}^{2\pi} {f(\theta) d\theta}=0$$를 만족하므로 정의한 곡선 C에서 $$x(0)=x(2\pi)=0, y(0)=f(0)=f(2\pi)=y(2\pi)$$가 성립한다. 즉, 곡선 C는 폐곡선이 된다.

곡선 C에 등주정리를 적용하면, $$\int_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\left\{\int_{0}^{2\pi} {\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi}$$ 코시-슈바르츠 부등식으로 인해 $$ \frac{\left\{\int_{0}^{2\pi} {\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi} \leq \frac{\left(\int_{0}^{2\pi} {\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2 dt}\right)\left(\int_{0}^{2\pi} {dt}\right)}{4\pi}$$ 따라서, $$\int_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\int_{0}^{2\pi} {\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2 dt}}{2}$$이고 $$\int_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \int_{0}^{2\pi} {\left\{f'(t)\right\}^2 dt}$$

Wirtinger's Inequality의 등호조건은 곡선 C가 등주 정리의 등호조건을 만족하며, 코시-슈바르츠 부등식의 등호조건에서 $$\left(f(x)\right)^2+\left(f'(x)\right)^2$$가 상수일 때이다. 즉, $$\left(\int_{0}^{2\pi} {f(x)}\right)^2+\left(f(x)\right)^2=C_1 ....(1), \left(f(x)\right)^2+\left(f'(x)\right)^2=C_2....(2)$$

(1)식을 x에 대해 미분하면 $$2f(x)\left(f'(x)+\int_{0}^{2\pi} {f(x)}\right)=0$$ 따라서, $$f(x)=-f''(x)$$이므로 $$f(\theta)=acos(\theta+b)$$

--왼손은거들뿐 (talk) 11:45, July 14, 2015 (UTC)