등주정리의 증명 시도하기

맞는지는 모름 검증해주기 바람 경로 함수 $$C(s)=(f(s),g(s))$$ 라고 정의하자. 이때, 주기를 2pi라고 한다. 그리고 점이 C(s)를 일정한 속도로 움직인다고 가정한다.(길이의매개화). 곡선을 적당히 평행이동시켜, g(s)의 2pi까지의 평균이 0이 되도록 만든다.즉, $$L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{{\frac{df}{ds}}^{2}+{\frac{dg}{ds}}^{2}}ds$$ 그리고 Green theorem에 의해, Q=0, P=-y로 잡으면 넓이는 다음과 같이 된다. $$ A=-\int_{C}(ydx)=-\int_{C}g(s)\frac{df(s)}{ds}ds$$ 보이고자 하는 식은 다음과 같다. $$L^{2}-4\pi A>=0$$ 한편, 속도는 일정하므로, $$ \int_{0}^{2\pi}({\frac{df}{ds}}^{2}+{\frac{dg}{ds}}^{2})ds=\frac{L^{2}}{2\pi}$$ 따라서, 다음의 식을 보인다. $$ L^{2}-4\pi A=2\pi\int_{0}^{2\pi}({\frac{df}{ds}}^{2}+{\frac{dg}{ds}}^{2}+2g(s)\frac{df(s)}{ds})ds$$ $$=\int_{0}^{2\pi}({\frac{df}{ds}+g(s)}^{2})ds +\int_{0}^{2\pi}({\frac{dg}{ds}}^{2}-(g(s))^{2})ds$$ 한편, 뒤의 항은, g(s)의 평균이 0이므로, Wirtinger's ineq에 의해 0보다 크고, 앞의 항은 제곱식의 적분이므로 0보다 크다. 결국, $$L^{2}-4\pi A>=0$$는 성립하게 된다. 등호는 cos sin의 합으로 나타날 때이므로, 원이다.

--예다야아몰랑 (talk) 17:27, June 5, 2015 (UTC)

다른 증명 방법으로는 물리학에서 자주 쓰이는 변분을 이용해서 증명할 수 있다. 그냥 y=f(x)로 표현할 수 있는 경로상에 존재한다고 가정하고, 변분해주면 잘 된다. 누군가가 식을 써주리라 예상하고 이정도에서 마친다. --예다야아몰랑 (talk) 17:28, June 5, 2015 (UTC)

변분법으로 어떻게 한다는 것인지 자세한 풀이를 모르지만, 변분법 풀이는 위험하지 않나 싶다. 일단 f가 몇 번 미분가능한지 모르므로 변분법을 통해 나온 미분방정식이 무용지물이 될 수 있다. 그리고 변분법은 극값을 가지는 함수를 찾는 것이지, global minimum 값을 찾는 것이 아니라서 예를 들어 좌변이랑 우변 차이가 무한으로 발산한다면 그 경우를 고려하지 못한다. 실제로 내가 올렸다 지운 바르팅거 부등식 증명도 그와 관련된 면에서 오류가 나타났다.

--웅지팍 (talk) 15:32, June 13, 2015 (UTC)