역사적 배경

식물의 줄기, 나무 기둥은 왜 원모양일까? 작은 물방울과 비눗방울의 모양이 거의 구에 가까운 이유는 무엇일까? 늑대가 공격을 하면 순록떼는 왜 둥글게 모일까? 이러한 문제들은 간접적으로 수학에 포함되지만 그 자체가 수학적 사고와 직접 관련되지는 않는다. 이와 유사하지만 더 직접적으로 수학에 관련되는 문제가 있다. 예를 들어, 일정한 길이의 울타라로 가장 넓은 땅의 둘레를 친다면 그 땅은 어떤 모양이겠는가? 고대 그리스 시대에 이 문제는 적진의 크기를 재는 것과 같이 주로 전쟁과 관련되었다. 적군의 수는 적진이 차지하고 있는 땅의 크기에 대략 비례할 것인데 적진의 크기는 보통 그 둘레의 길이를 재서 측정하였다. 종종 이러한 측정방법은 잘못된 결론에 이르러서 보다 정확한 수학적 해법이 요구되기에 이르렀다.

지금까지 예를 든 문제들은 일정한 길이나 넓이를 가진 도형 중 가장 큰 넓이를 가진 것은 무엇인가? 하는 수학 문제와 관련된다. 이러한 문제를 등주문제(Isoperimetric Problem)이라고 한다.

등주문제는 앞서 언급하였듯이 이미 고대 그리스 시대에 알려져 있었으며 수학사에서 아주 오래된 문제중 하나이다. 등주문제는 주어진 길이가 $$L$$인 모든 폐곡선중 가장 큰 넓이를 가진 것은 무엇인지에 대한 물음을 제기한다. 카르타고의 여왕 디도(Dido)가 주어진 길이의 쇠가죽으로 경계지을 수 있는 땅의 넓이를 최대로 하기 위해 원을 이용하였다는 전설에서 알 수 있듯이 인류는 경험적으로 이 문제의 답이 원이며 그 넓이가 $$\frac{L^2}{4\pi}$$임을 알고 이를 이용하여 왔다. 그러나 그 증명은 경험적으로 이루어질 수는 없는 것이어서 인류의 지성사에서 2000년이상 등주문제에 대한 증명은 오랜동안 미해결과제로 남아 있었다. 19세기 들어 수학사에서 등주문제의 증명에 대한 커다란 진전이 있었으며 "현대적인 방법으로 엄밀한 증명을 이끌어 내게 되었다."(Courant and Robinson, 1996, p.373). 이러한 역사의 진전에 관련된 인물이 바로 스타이너(Jacob Steiner, 1796-1863)이다. 이번 프로젝트에서는 스타이너의 증명에 대해 알아보고 그린정리를 이용하여 등주문제를 증명하는 것을 목표로 한다.