그린정리를 이용해 푼 문제 5

[문제] $$C^1$$함수 $$\psi, \phi, g$$에 대하여 $$\int_{\psi(x)}^{\phi(x)} {g(x,y)dy}$$라 할 때, 다음 식이 성립함을 보이시오.

$$f'(x)=g(x,\phi(x))\phi'(x)-g(x,\psi(x))\psi'(x)+\int_{\psi(x)}^{\phi(x)} {D_1g(x,y)dy}$$

[풀이] 왼쪽 그래프와 같이 닫힌 단순 경로 C를 생각하자(단, a는 변수 x와 상관없는 상수이다). 닫힌 경로 C 내부의 영역을 D라고 하자. C가 simple closed curve이며 g는 $$C^1$$함수이므로, 경로 C에 대한 선적분에 Green's Theorem을 적용하면 다음 식이 성립한다.

$$\int_{C} {g(x,y)dy}=\int_{D} {D_1g(x,y)dA} ...(1)$$ 한편, 닫힌 경로 C를 C1, C2, C3, C4의 네 부분에 대해 분해하여 선적분을 계산하면, $$\int_{C} {g(x,y)dy}=\int_{C_1} {g(x,y)dy}+\int_{C_2} {g(x,y)dy}+\int_{C_3} {g(x,y)dy}+\int_{C_4} {g(x,y)dy}$$ $$=\int_{\psi(x)}^{\phi(x)} {g(x,\phi(x))dy}-\int_{a}^{x} {g(x,\phi(x))d\phi(x)}-\int_{\psi(a)}^{\phi(a)} {g(a,y)dy}+\int_{a}^{x} {g(x,\psi(x))d\psi(x)} ...(2)$$ 식 (1)과 (2)에 의해,

$$\int_{D} {D_1g(x,y)dA}=f(x)-\int_{a}^{x} {g(x,\phi(x))\phi'(x)dx}-f(a)+\int_{a}^{x} {g(x,\psi(x))\psi'(x)dx} ...(3)$$

식 (3)의 양변을 x에 대해 미분하면

$$\int_{\psi(x)}^{\phi(x)} {D_1g(x,y)dy}=f'(x)-g(x,\phi(x))\phi'(x)+g(x,\psi(x))\psi'(x)$$

따라서, 문제에서 보이고자 한 다음 식이 성립함을 알 수 있다. $$f'(x)=g(x,\phi(x))\phi'(x)-g(x,\psi(x))\psi'(x)+\int_{\psi(x)}^{\phi(x)} {D_1g(x,y)dy}$$ --왼손은거들뿐 (talk) 09:50, May 31, 2015 (UTC)