문제 2-3의 풀이

$$\int_{0}^{\frac{3\pi}{4}}{\frac{sinx}{1+cos^2x}}dx=\int_{0}^{\frac{3\pi}{4}}{\frac{-dcosx}{1+cos^2x}}$$ cosx를 tany로 치환하면,$$\int_{0}^{\frac{3\pi}{4}}{\frac{dcosx}{1+cos^2x}}=\int_{y=tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{y=\frac{\pi}{4}}{\frac{dtany}{sec^2y}}=\frac{\pi}{4}-tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ --왼손은거들뿐 (talk) 09:02, May 23, 2015 (UTC)

$$\left[ arctan (sec x) \right]' = \frac{sin x} { 1+ cos^2 x }$$ 이므로

$$\int_{0}^{\frac{3}{4} \pi } \frac{ sin x } { 1+ cos^2 x } dx = \left [ artan (sec x) \right ] _{0}^{\frac{3}{4} \pi} = arctan ( -\sqrt 2 ) - arctan 1 = - arctan \sqrt2 - \frac{\pi}{4}$$ --Xlot (talk) 08:26, May 31, 2015 (UTC)

Xlot의 풀이가 틀린 점은 arctan의 범위를 고려해지 않았다. 공역은 -pi/2~pi/2이다 User:예다야아몰랑

--예다야아몰랑 (talk) 06:04, June 2, 2015 (UTC)

예다야아몰랑의 지적에 대해 보완설명을 하자면, x가 0에서 $$\frac{3\pi}{4}$$ 까지 가는데, 도중에 x가 $$x=\frac{pi}{2}$$ 를 거친다. 이 지점에서 $$\sec(x)$$가 양의 무한에서 음의 무한으로 불연속적으로 바뀐다. Xlot님의 부정적분 식을 적용시키기 위해서는 $$\arctan(\sec(x))$$가 연속적인 두 개의 구간으로 나눠서 적분해야 한다. 원식$$=\int_{0}^{\frac{pi}{2}}{\frac{sinx}{1+cos^2x}}dx +\int_{\frac{pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}}{\frac{sinx}{1+cos^2x}}dx$$ 이므로 여기서 Xlot의 풀이에 있던 부정적분 식을 적용하면 된다.